「申し込み」「申込み」「申込」など、日本語には同じ言葉でもいろいろな表記の仕方があるので、どれを使えばいいのか悩むところです。
基本的には、漢字が連続する場合、間に送り仮名を入れるのが一般的です。
「付添い」→「付き添い」
「取立て」→「取り立て」
しかし、「申込書」は送り仮名なしが一般的です。
文部科学省ウェブサイトの「送り仮名の付け方」には、以下のように書かれています。
通則6
本則 複合の語(通則7を適用する語を除く。)の送り仮名は，その複合の語を書き表す漢字の，それぞれの音訓を用いた単独の語の送り仮名の付け方による。
〔例〕
(1) 活用のある語
書き抜く 流れ込む 申し込む 打ち合わせる 向かい合わせる 長引く 若返る 裏切る 旅立つ許容 読み間違えるおそれのない場合は，次の( )の中に示すように，送り仮名を省くことができる。
〔例〕 書き抜く(書抜く) 申し込む(申込む) 打ち合わせる(打ち合せる・打合せる)通則7
複合の語のうち，次のような名詞は，慣用に従って，送り仮名を付けない。
〔例〕
(１) 特定の領域の語で，慣用が固定していると認められるもの。・・・・待合((室)) 見積((書)) 申込((書))
http://www.mext.go.jp/b_menu/hakusho/nc/k19730618001/k19730618001.html
要するに、原則は送り仮名ありだけど、「申込書」みたいに送り仮名なしの表記が定着している場合は送り仮名なしでもいいという解釈で問題ないようです。
なお、企業によっては独自のルールを採用しているところもあるので、上記ページに書かれていることよりも各企業のルールを優先してください。
